전달함수 시스템의 State-Space system 표현

2023-02-17 1 분 소요

전달함수의 Canonical Forms(표준 형태)

전달함수는 기본적으로 다음과 같은 시간영역(Time Domain) 상에서 표현된 System 을 Laplace Transform 을 통해 변환하여 주파수영역(Frequency Domain) 으로 표현할 수 있다.

이때 이러한 기본형 TF 함수를 기반으로 하여 다양한 시스템을 구성할 수 있는데 이를 State-Space Form(상태공간) 형식으로 나타낼 수 있고,

이번글에서는

총 네가지 기능을 가진 SS 에 대해 알아보자.

[Rank] : 행렬이 가지는 independent 한 column 의 수

= Column space 의 dimension( = Row space 의 dimenstion)

independent 한 column 의 수 = independent 한 row 의 수

즉

rank(A) = rank(A^T)

가 성립하며 이를 통해 Column space 의 dimension= Row space 의 dimenstion 임을 알 수 있다.

본 행렬의 경우에는 첫번째 컬럼만이 independent 하기 때문에 Rank = 1 이고,

다음의 경우에는 첫번째, 두번째 column 이 independent 하므로 Rank = 2 이다.

또한 해당 Matrix 의 row 와 column 의 수와 independent 한 row column 의 수를 비교하여 각각

Rank Deficient

Full Rank (Full row Rank, Full column Rank) 로 분류한다.

본 행렬의 경우 2x3 행렬이지만 Rank = 1 이므로 Rank-deficient 인 행렬이고

본 행렬은 2x3 행렬, Rank = 2 로 Full row rank 이다.

3 x 2 행렬에서 Rank = 2 의 경우 : Full column rank 이며

3 x 3 행렬 Rank = 3 : Full Rank

3 x 3 행렬 Rank = 2 : Rank Deficient

로 분류할 수 있다.

우선 controlleable canonical form (가제어성) 모델의 형식은 다음과 같다.

해당 SS 모델은

Katsuhiko Ogata _ Modern Control Engineering 5th Edition chapter 9